傅里叶变换在电路中的应用

sunsili

傅里叶变换在电路中的应用


演算傅里叶变换在电路中的应用，顺便看能不能推导出对应的数学模型或者数学公式。傅里叶变换的篇章比较多，也非常的有意思啊，大学时学没怎么明白。巧不巧的，又遇上了，因为项目需要设计一个低噪声正弦波小信号(周期性、连续性)驱动电路。

篇章1，言归。

傅里叶级数是一个自然的函数展开形式，公式如下：

由此公式可以看出来，这是一个一个变量解后再求和的过程。在(负无穷，正无穷)间，满足“绝对可积”，是傅里叶级数变换往傅里叶积分的拓展关键性质，傅里叶积分再拓展就是就是傅里叶变换了，对应的频谱分析上，w的范围从(0，正无穷)延伸到(负无穷，正无穷)。为了更形象在电路上展示和应用傅里叶变换才做如此实验的篇章1。演示傅里叶(逆)变化在数字滤波的实验流程。下面一个小测试，进行一个正弦波的频谱分析。首先，正弦波是一个时域连续的周期函数，它在电路上的重要特性就是波形失真，噪声大。通常其失真就意味着波形掺杂高次谐波。实验1 和实验2 是展示两个不同频率时域波形的频域。实验3 是将实验1 和实验2 两个时域波形合并后的频域。实验4 简单的数字滤波，将基波外的谐波滤波掉。

实验1【参数】【输入波形：10KHZ, 5V幅度，无偏置,sin】，再串联2个并联470K电阻(实验室回来拿错，没有替代电阻)，测试如下图所示 : 实验1小结：时域上：时域波形和输入波形的幅度不一致(原因见电路工程数学-阻性分析模型)，但时域波形幅度不影响频谱分析。频域上：10K频率时域波形，在10KHZ(x轴)左右凸起一个小山丘(这里波形不太平滑，可能和示波器分辨率和采样点有关)。这就是时域周期连续信号在频域这个维度上的呈现。实验2【参数】【输入波形：50KHZ, 5V幅度，无偏置,sin】，再串联2个并联470K电阻，测试如下图所示 : 实验2小结) 频域上：50K频率时域波形，在50KHZ(x轴)左右凸起一个小山丘。频谱和对应时域波的频率相关，频率改变，频谱也会随着变化。实验3【参数】【输入波形：实验1 和实验2 波形合并】，即【50kHZ和10kHZ的波形合并】，测试如下两图所示,图一是串联了一个大电阻，图二是没有串联电阻 : 实验3小结：
时域上：高阻抗改变了输入波形，其中包括了幅度和主要形状(原因见电路工程数学-阻性分析模型)，不影响频域分析。
频域上：两个不同频率的波形，在时域上合并后，波形上可能复杂难以分辨。但在频域上可以分辨，并可以显示出频率大小和范围，这为数字滤波电路提供了数据依据。实验4【参数】【输入波形：11MHZ和10KHZ 的波形合并，其他性质保持一致】，测试如下两图所示,图一没滤波处理波形，图二是滤波处理波形 实验4小结：傅里叶可以实现滤波电路的重要依据。(这里的滤波电路还不够好，还有个250KHZ的小幅度的杂波没有滤掉，源于没有元器件搭建)测试小结结论：1、频谱是滤波的关键，合适的频率点设计合适的滤波电路，可以去除不必要的波形2、噪声可能会影响到频谱的有效分析，反之频谱亦是排除噪声的有效途径3、时域合并波形，频域上可以被分离和还原，应用于音频电路设计的参考依据4、频谱是可以衡量一个波形失真程度5、时域波形的同相位上，合并幅度有一定的相加减作用(或可能与周期相关)6、可以用于分析多种波形合并成一种新的波形，反之亦可逐个分离的研究7、合并的波形，基波的频谱若不变。随着谐波次数的增加，从影响基波的整体波形的周期上，转变到影响波形的线上一小截周期，并影响随着谐波次数增加而变小。8、频谱有呈现出收敛性质9、谐波次数增加，谐波分量的振幅越小10、时域波形进行傅里叶变换到频域，把不必要的频率分量滤除，再傅里叶逆变换到时域波形，是实验本次实验的目的。

篇章2，正传 - 傅里叶级数。

傅里叶变换和逆变换应用之一是数字滤波电路分析原理。

有这样的一个结论：“任何周期函数都可以用收敛的正弦级数表示”[1]。意思上任何（非正弦）周期函数都可以分解为三角级数的线性组合。反过来，三角函数的线性合并起来可以为各种各样的周期函数（非正弦），比如锯齿波、方波、半波、全波等等函数。在满足收敛性质的三角函数是可以组合为任何周期函数，其中的三角函数是傅里叶级数延拓的展开形式。

按照傅里叶级数的三角形式表示或者一般表示：

按照傅里叶级数的复指数形式表示：

在实际的分析和调试里，应该更方便复指数形式应用，这里只要讨论时域波形的叠加。

[此图片来源于书籍,顾樵(Qiao GU),Mathematical Methods for Physics]

可以看出傅里叶级数在周期内的每一个连续点或者间断点（离散范畴）存在有定义的值；周期为2π的，在(0, 2π)内对这些三角函数定积分证明这些三角函数在0-2π内存在正交。2π刚好是一个完整圆，这些三角函数对应的圆形是缠绕在一起。
两个波形合并之后，波形的改变。

                              
某一段时域点上对应的是某一个区域(x1, x2]，两个波形都是递增状态，那合成的波形就是增幅的；反之，都是递减状态，那合成的波形幅度就是衰减的；一个递增和一个递增，由幅度决定。这里的波形合并都是以+，不包含-，不反相，都是0电位以上。
        
降幅还是升幅，是+-、--、++、-+的一个过程，同相相加，方相相减，。然而三角函数明显的特征就是周期性、奇偶性，幅度大小、周期性的递增和递减。   
这里分析下傅里叶级数，首先在项目上我还没有遇到过要用到傅里叶级数的应用，可能类似正弦波混杂一些高次谐波导致失真的情况就有而出现。   
                                                                                                                 这里只要实验下傅里叶级数数学性质，增强电路里的数学知识，（软件：MATLAB）。代码非常简单易截图形式。

1、 基波混杂低谐波的波形情况


2、基波混杂高谐波的波形情况


3、奇函数的傅里叶级数组合 4、偶函数的傅里叶级数组合 目的，加深了数学知识在电路中的运行过程。参考文献
【1】【德】顾樵(Qiao GU).数学物理方法=Mathematical Methods forPhysics[M].北京：科学出版社,2012
【2】李献，骆志伟，于晋臣.MATLAB/Simulink系统仿真[M].北京：清华出版社，2020.1
【3】燕庆明，于凤芹，顾斌杰.信号与系统教程.北京：高等教育出版社，2016.12代码目录：

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clear allclct = 0 : 0.01 : 3 * pi;subplot(2, 3, 1)y1 = 0;y3 = sin(2 * t);plot(t, y1 + 1/2 * y3)subplot(2, 3, 2)y5 = sin(4 * t);plot(t, y1 + 1/2 * y3 + 1/4 * y5)subplot(2, 3, 3)y7 = sin(6 * t);plot(t, y1 + 1/2 * y3 + 1/4 * y5 + 1/6 *y7)subplot(2, 3, 4)plot(t, y1 + 1/2 * y5 + 1/6 *y7)subplot(2, 3, 5)%plot(t, y1)%plot(t, y1 - 1/3 * y3 + 1/5 * y5 + 1/7 *y7)%subplot(2, 3, 6)mesh(t, 1 : 3, [ y1 + 1/2 * y3; y1 + 1/2 * y3 + 1/4 * y5; y1 + 1/2 * y3 + 1/4 * y5 + 1/6 *y7])